Back

ⓘ 5-celule



5-celule
                                     

ⓘ 5-celule

În geometrie 5-celule este un obiect din spațiul cvadridimensional mărginit de 5 celule tetraedrice. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de C 5. Este 4-simplexul, politopul α 4 {\displaystyle \alpha _{4}} al lui Coxeter, cel mai simplu posibil 4-politop regulat convex, fiind analogul 4-dimensional al tetraedrului din trei dimensiuni și al triunghiului din două dimensiuni. 5-celule este o piramidă 4-dimensională cu o bază tetraedrică.

5-celule regulat este mărginit de 5 tetraedre regulate și este unul dintre cele șase 4-politopuri regulate convexe, având simbolul Schläfli {3.3.3}.

5-celule este o soluție la problema: Faceți 10 triunghiuri echilaterale, toate de aceeași dimensiune, folosind 10 bețișoare identice, unde fiecare latură a fiecărui triunghi este exact un singur bețișor”. Nu există nicio soluție în trei dimensiuni.

Anvelopa convexă a 5-celule și a dualului său presupunând că sunt congruente este 30-celule disfenoidal, dual al 5-celule bitrunchiat.

                                     

1. Geometrie

5-celule este un politop autodual, iar figura vârfului său este un tetraedru. Intersecția sa maximă cu spațiul tridimensional este prisma triunghiulară. Unghiul diedru al acestuia este cos −1 / 4, sau aproximativ 75.52°.

                                     

1.1. Geometrie Construcție

5-celule poate fi construit dintr-un tetraedru adăugând un al 5-lea vârf astfel încât să fie echidistant de toate celelalte vârfuri ale tetraedrului. 5-celule este o piramidă 4-dimensională cu o bază tetraedrică și patru fețe tetraedrice.

Cel mai simplu set ce coordonate este: 2.0.0.0, 0.2.0.0, 0.0.2.0, 0.0.0.2, φ,φ,φ,φ, cu lungimea laturii de 2 √ 2, unde φ este secțiunea de aur.

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui 5-celule regulat centrate în origine având lungimea muchiei 2 sunt:

{\displaystyle \left{\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right} {\displaystyle \left{\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right} {\displaystyle \left{\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right} − 2 5, 0, 0, 0 {\displaystyle \left-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right}

Alt set de coordonate centrate în origine în 4-spațiu poate fi văzut ca o hiperpiramidă cu o bază tetraedrică regulată în 3-spațiu, cu lungimea muchiei 2 √ 2:

1, 1, 1, − 1 5 {\displaystyle \left1.1.1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right} 1, − 1, − 1, − 1 5 {\displaystyle \left1 1 1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right} − 1, 1, − 1, − 1 5 {\displaystyle \left-1.1 1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right} − 1, − 1, 1, − 1 5 {\displaystyle \left-1 1.1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right} 0, 0, 0, 4 5 {\displaystyle \left0.0.0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right}

Vârfurile unui 4-simplex cu muchia √ 2 pot fi construite mai simplu pe un hiperplan în 5-spațiu, ca permutări distincte de 0.0.0.0.1 sau 0.1.1.1.1; în aceste poziții este o fațetă, a unui 5-ortoplex sau a 5-simplexului rectificat.

                                     

1.2. Geometrie Elicea Boerdijk–Coxeter

Un 5-celule poate fi construit ca elicea Boerdijk–Coxeter a cinci tetraedre înlănțuite, pliate într-un inel 4-dimensional. Cele 10 fețe triunghiulare pot fi văzute într-o desfășurată 2D într-o pavare triunghiulară, cu 6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf, deși plierea în 4-spațiu face ca laturile să coincidă. Laturile violete sunt poligonul Petrie al 5-celule.

                                     

1.3. Geometrie Proiecții

Un 5-celule se proiectează în planul Coxeter A 4 ca un pentagon regulat și pentagramă. Format:4-simplex Coxeter plane graphs

                                     

2. 5-celule neregulat

Există multe forme de simetrie inferioară, inclusiv cele ale figurii vârfului politopului uniform:

Piramida tetraedrică este un caz particular al unui 5-celule, o piramidă poliedrică având drept bază un tetraedru regulat într-un hiperplan din 3-spațiu și drept apex punctul de deasupra hiperplanului. Cele patru laturi ale piramidei sunt formate din celule tetraedrice.

Multe 5-politopuri uniforme figuri ale vârfului piramida tetraedrică:

Alte 5-politopuri uniforme au figuri ale vârfurilor 5-celule neregulate. Simetria unei figuri a vârfului unui politop uniform este notată prin eliminarea nodurilor inelate ale diagramei Coxeter.

                                     

3. Compuși

Compusul de două 5-celule în configurație duală poate fi văzut ca proiecție în planul Coxeter A5, cu vârfurile și laturile celor două 5-celule colorate roșu, respectiv albastru. Acest compus are simetria de ordinul 240. Intersecția acestor două 5-celule este un 5-celule bitrunchiat uniform. = ∩.

Acest compus poate fi văzut ca analogul 4D al hexagramei 2D { 6 ⁄ 2 } și al compusului de două tetraedre 3D.

                                     

4. Politopuri și faguri asociați

5 celule este cel mai simplu dintre cele 9 4-politopuri uniforme construite din grupul Coxeter.

Din secvența 4-politopurilor regulate fac parte: tesseractul {4.3.3} și 120-celule {5.3.3} din 4-spațiul euclidian și fagurele pavare hexagonală {6.3.3} din spațiul hiperbolic. Toate acestea au ca figură a vârfului tetraedrul.

5-celule este unul dintre cele 4-politopuri regulate cu celule tetraedrice, împreună cu 16-celule {3.3.5} și 600-celule {3.3.5} din spațiul euclidian. Fagurele tetraedric de ordinul 6 {3.3.6} din spațiul hiperbolic are și el celule tetraedrice.

                                     

5. Bibliografie

  • p. 296, Table I iii: Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions n≥5
  • Coxeter, H.S.M. 1973. Regular Polytopes ed. 3rd. New York: Dover.
  • en H.S.M. Coxeter
  • p. 120, §7.2. see illustration Fig 7.2 A
  • en T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6
  • Paper 22 H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I,
  • Coxeter, H.S.M. 1991, Regular Complex Polytopes ed. 2nd, Cambridge: Cambridge University Press
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. 1966
  • en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript 1991
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: n1


                                     

6. Legături externe

  • en Eric W. Weisstein, Pentatope la MathWorld.
  • en George Olshevsky. "Pentachoron”. Glossary for Hyperspace. Arhivat din original la 4 februarie 2007.
  • George Olshevsky, 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron - Model 1
  • en Jonathan Bowers, Regular polychora
  • en pyrochoron
  • en Java3D Applets
  • de Marco Möller, Der 5-Zeller română 5-celule: Polytope im R 4
  • en Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes polychora x3o3o3o - pen”.
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →